본문 바로가기
수학, 기타

[선형대수학] 대각화와 스펙트럼 정리 (Diagonalization & Spectral theorem)

by 방구석 몽상가 2020. 3. 7.
spectral_theorem

스펙트럼 정리(spectral theorem)는 linear transformations를 eigenvalue 및 eigenvalue의 집합을 일반화한 스펙트럼으로 나타내는 일련의 정리다. [위키백과]

이를 이해하기 위한 기본 지식들을 차근차근 살펴보자.

Diagonalization (대각화)

위는 행렬 에 대한 대각화 연산이다. 여기서 행렬 의 eigenvectors를 column vector 형태로 차례로 끼워넣은 eigenvector 행렬이다. 는 대각 행렬로, 대각항은 의 eigenvalue로 채워져있다. 위 식에서 앞에 곱해져있는데 이것으로 는 역행렬이 존재하는 non-singular (비특이) 행렬이어야 한다는 것을 알 수 있다.
또한 의 n개의 eigenvectors (eigenvalues)가 서로 독립이어야 한다. 가 eigenvalue 행렬이고 역행렬이 존재하기 위해 이어야 한다는 것을 생각해보면 쉽게 이해할 수 있다. 다음의 삼각행렬을 생각해보자.

eigenvalue는 {2, 3}으로 쉽게 구할 수 있다. eigenvalue 중 중복값이 있어 대응되는 eigenvector의 개수는 2개가 나온다. 행렬 은 eigenvector가 column이므로 이 된다.

Diagonalization of Symmetric matrix

대칭행렬은 인 정방 행렬이다. 대칭 행렬은 다음과 같은 속성을 갖는다.

1) Eigenvalues는 실수다.
2) Eigenvectors는 서로 직각(Perpendicular)이다.

각 eigenvalue에 대응하는 eigenvector는 1차원 eigenspace를 형성하며, 각 eigenspace는 서로 직교한다.
위 속성에 따라 대각화 에서 행렬 는 서로 수직인 eigenvectors로 구성된 행렬이다. 벡터의 방향에 의미를 두기 때문에 eigenvectors를 normalization 거쳐 크기가 1인 orthonormal vectors로 만들어 행렬 를 orthonormal 행렬 로 만든다. 그러면 이고 orthonormal 행렬의 역행렬은 전치행렬과 같으므로 대칭행렬의 대각화는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

Hermitian(에르미트) 행렬

복소수를 원소로 가지고 있는 정방행렬로, 자기자신과 conjugate transpose 행렬이 같은 행렬을 말하며 다음 조건을 만족하는 행렬이다. 여기서 conjugate transpose 행렬은 해당 행렬을 transpose한 후 성분별 켤레 복소수를 취하여 얻은 행렬이다.

켤레 복소수인 점을 제외하면 형태가 대칭 행렬과 동일하다는 것을 알 수 있다.

Unitary(유니터리) 행렬

conjugate transpose 행렬이 역행렬과 같은 복소수 행렬이다. 에르미트 행렬과 같은듯 보이지만 역행렬과 같다는 점이 다르다. 실수 행렬일 경우, orthonormal(직교) 행렬과 동치다.

Spectral Theorem

크기의 에르미트 행렬은 아래 식과 같이 실수로 이루어진 eigenvalue 행렬 와 유니터리 행렬 로 대각화 과정을 통해 분해할 수 있다.

위에 내용을 다 이해했다면, 대칭행렬의 대각화와 매우 유사하다는 점을 알 수 있다. 결과적으로 실수 대칭 행렬의 대각화를 spectrum theorem으로 설명할 수 있다.

요점만 뽑아서 간단히 설명했는데 https://twlab.tistory.com/54 에서 매우 자세히 설명하고 있고 다른 글도 볼게 많으니 급하게 이해해야 할게 아니라면 들어가서 글을 보면 좋을 것 같다.

댓글